Quel était le rêve de Leibniz d’un calcul du raisonnement?

Imaginez deux personnes qui débattent d’une question difficile et qui, au lieu de hausser le ton, prennent un crayon et disent : « Faisons le calcul. » Cette scène a été le rêve de toute une vie pour Gottfried Wilhelm Leibniz. Il voulait une langue si exacte que raisonner dans cette langue serait aussi mécanique qu’une division longue, de sorte qu’un désaccord pourrait se régler comme un comptable règle une addition.

Le rêve a commencé avec un court livret ambitieux qu’il a publié en 1666 dans la ville universitaire de Leipzig. Il l’a plus tard qualifié d’immature. Il contient pourtant, en germe, l’idée que la pensée peut être décomposée en symboles et en règles, ce qui est le point de départ de la logique telle qu’on l’utilise aujourd’hui dans les ordinateurs.

Ce qui s’est passé en 1666

Le titre latin du livret est Dissertatio de arte combinatoria, qu’on traduit habituellement par « Dissertation sur l’art combinatoire ». C’est une version augmentée de la première thèse de doctorat de Leibniz, écrite avant qu’il ait sérieusement étudié les mathématiques. Elle a été imprimée à Leipzig en 1666 et lui a valu un premier goût de célébrité parmi les savants.

L’ouvrage a eu une drôle de seconde vie. En 1690, il a été réimprimé sans sa permission, et Leibniz a publié un court avis dans une revue savante pour s’en distancier. Il a dit à plusieurs reprises qu’il aurait préféré qu’il ne circule pas. Malgré tout, les historiens le considèrent comme le coup d’envoi d’un projet auquel il est revenu pendant des décennies.

L’idée : un alphabet de la pensée humaine

L’idée centrale est simple à énoncer. Chaque concept, proposait Leibniz, est une combinaison d’un nombre assez restreint de concepts de base, de la même façon que chaque mot est une combinaison de lettres. Si l’on pouvait dresser la liste de ces concepts de base et donner un symbole à chacun, alors :

• chaque idée complexe aurait une « orthographe » précise faite de symboles de base;
• chaque énoncé vrai serait une combinaison correcte de ces symboles;
• trouver de nouvelles vérités deviendrait une affaire d’essai systématique des combinaisons.

Leibniz a emprunté une partie de cette idée à Raymond Lulle, un penseur majorquin du XIIIe siècle qui avait conçu des dispositifs pour combiner des vérités de base. Leibniz admirait l’ambition, mais jugeait arbitraires les catégories de Lulle. Il citait aussi le philosophe anglais Thomas Hobbes, qui avait soutenu en 1651 que tout raisonnement est une sorte de calcul.

Le livret contient aussi de vraies mathématiques. Leibniz y étudiait de combien de façons on peut ordonner ou regrouper un ensemble d’éléments, la branche des mathématiques qu’on appelle aujourd’hui la combinatoire. Il l’a appliquée au droit, aux jeux d’orgue et à de vieilles théories sur les éléments.

Un exemple détaillé tiré du livret

Son exemple le plus soigné vient de la géométrie. Il attribue des nombres à des concepts simples et construit de nouveaux concepts comme des combinaisons de ceux-ci. En voici une version simplifiée :

Remarquez ce qui se passe. Une fois que les concepts simples ont des codes, une définition devient une formule. On pourrait, en principe, vérifier si deux définitions veulent dire la même chose en comparant leurs formules, sans se disputer sur les mots.

Des combinaisons au calcul

Dans des écrits ultérieurs, Leibniz est allé plus loin. Il a décrit une characteristica universalis, une langue symbolique universelle pour toutes les idées, et un calculus ratiocinator, un « calcul du raisonnement » qui opérerait sur ces symboles selon des règles fixes. Avec les deux en main, écrivait-il, les philosophes n’auraient plus besoin de se disputer, pas plus que les comptables; ils pourraient simplement s’asseoir avec leurs ardoises et dire :

« Calculons. »

Il a aussi construit des calculatrices mécaniques, en améliorant des modèles antérieurs; il savait donc que l’arithmétique, au moins, pouvait être confiée à une machine.

Pourquoi c’était important

Une grande partie des travaux de Leibniz sur la logique est restée inédite dans ses papiers à Hanovre pendant près de deux siècles, si bien que leur influence directe est débattue. Les logiciens du XIXe siècle se sont néanmoins retrouvés sur sa route. Au milieu du siècle, George Boole a bâti une algèbre de la logique; sa veuve a écrit plus tard que, lorsqu’il a appris à quel point Leibniz l’avait devancé, il a eu l’impression que Leibniz tendait la main à travers les siècles pour serrer la sienne. En 1879, Gottlob Frege a présenté sa propre notation formelle comme un premier pas vers la langue universelle décrite par Leibniz, tout en jugeant le projet complet trop vaste pour une seule personne. Vers 1900, Louis Couturat a étudié les papiers inédits et soutenu que Leibniz possédait déjà les principes clés de la nouvelle logique.

C’est sur cette logique moderne que reposent les circuits des ordinateurs et les langages de programmation. En 2019, le rêve de Leibniz se manifeste dans les programmes qui vérifient des démonstrations mathématiques et dans les systèmes à base de règles qui tirent des conclusions de faits énoncés. Les programmes de langage actuels, comme GPT-2 d’OpenAI, prennent une autre voie : ils représentent chaque mot par une longue liste de nombres apprise à partir de textes, et non par une formule construite à la main.

Quelqu’un a-t-il déjà construit la machine à raisonner de Leibniz?

Pas sous la forme qu’il imaginait. Personne n’a trouvé de courte liste de concepts de base à partir de laquelle on pourrait épeler toutes les idées, et la plupart des chercheurs doutent aujourd’hui qu’une telle liste existe. Les mots de tous les jours sont trop souples, et leur sens change selon le contexte.

Certaines parties du rêve sont toutefois devenues réalité. La logique formelle nous a donné des symboles et des règles exacts pour raisonner correctement. Les ordinateurs électroniques, que Leibniz ne pouvait qu’annoncer avec ses calculatrices, appliquent ces règles à une vitesse énorme. Les vérificateurs de démonstrations peuvent confirmer qu’un long argument mathématique ne comporte aucune lacune, ce qui se rapproche du « Calculons » pour un domaine soigneusement défini.

Ce qui reste hors de portée, c’est l’étape que Leibniz tenait pour acquise : transformer des questions ordinaires de droit, d’éthique ou de politique en symboles nets sur lesquels tout le monde s’entend. Cette traduction reste un travail humain, et sans doute la partie la plus difficile du raisonnement.