# Comment George Boole a-t-il transformé la logique en algèbre?

Date: 2019-07-15 · Author: Robert Scales · https://guidetoartificialintelligence.com/fr/apprendre/george-boole-logique-algebre/

**Answer:** Dans son livre de 1854, Les Lois de la pensée, George Boole a écrit le raisonnement sous forme d’algèbre, avec des lettres pour des groupes de choses et une arithmétique particulière dont les seules valeurs sont 0 et 1. Cette algèbre de la logique à deux valeurs est devenue, grâce à des ingénieurs venus plus tard, la base des circuits de tout ordinateur numérique.

Pendant plus de deux mille ans, la logique, l’étude du raisonnement correct, s’est surtout enseignée en mots, à la manière du philosophe grec Aristote. George Boole, un mathématicien anglais en grande partie autodidacte qui travaillait en Irlande, croyait qu’on pouvait écrire et calculer le raisonnement comme de l’algèbre. En 1854, il a exposé cette idée en entier dans un livre au long titre : « An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities » (Une étude des lois de la pensée, sur lesquelles sont fondées les théories mathématiques de la logique et des probabilités).

La plupart des gens l’appellent simplement *Les Lois de la pensée*. Son idée maîtresse, laisser des symboles représenter des classes de choses et ne leur permettre que les valeurs 0 et 1, explique pourquoi le mot « booléen » figure aujourd’hui dans tous les manuels de programmation.

## Qui était Boole

Boole est né le 2 novembre 1815 à Lincoln, en Angleterre, fils d’un cordonnier dont la vraie passion était la science. La famille avait peu d’argent, et Boole n’a pas fréquenté d’écoles d’élite. Grâce à de bons livres, il a appris seul des langues et les mathématiques avancées. Dès l’âge de seize ans, il a travaillé comme enseignant et, à dix-neuf ans, il a ouvert sa propre petite école à Lincoln, qu’il a dirigée pendant une quinzaine d’années tout en menant à côté de sérieuses recherches mathématiques.

En 1847, il a publié un premier livre plus court sur le sujet, *The Mathematical Analysis of Logic* (L’analyse mathématique de la logique). En 1849, il s’est installé en Irlande comme premier titulaire de la chaire de mathématiques du Queen’s College de Cork, qui venait d’ouvrir. C’est là qu’il a écrit la préface des *Lois de la pensée*, datée du 30 novembre 1853, et le livre a paru en 1854. Il le considérait comme l’expression mûrie de ses idées. Boole est mort à Cork le 8 décembre 1864, après qu’un refroidissement eut tourné en pneumonie.

## Ce que le livre voulait faire

Boole énonce son but dès la première page : trouver les lois fondamentales des opérations mentales que nous utilisons quand nous raisonnons, écrire ces lois dans les symboles d’un calcul et bâtir la logique et les probabilités sur ce fondement. Il espérait même que les résultats donneraient une idée de la façon dont l’esprit humain est constitué.

La méthode est étonnamment simple à énoncer. Qu’une lettre comme *x* représente une classe de choses, disons « les choses blanches », et *y* une autre classe, disons « les moutons ». Les écrire côte à côte, *xy*, désigne les choses qui appartiennent aux deux classes : les moutons blancs. Boole a alors remarqué une curiosité. Si *x* et *y* désignent la même classe, alors *xy* redonne simplement *x*. Choisir « les choses blanches » parmi « les choses blanches » ne change rien. Donc, dans sa logique :

*x* × *x* = *x*, qu’il écrivait *x*² = *x*

En arithmétique ordinaire, cette équation n’est vraie que pour deux nombres : 0 et 1. Boole en a conclu que l’algèbre de la logique est la même que l’algèbre ordinaire, avec des valeurs limitées à 0 et 1. Il a donné un sens à ces valeurs : 1 représente tout l’« univers » des choses dont on parle, et 0 représente le néant, la classe vide. En réarrangeant sa loi, on obtient *x*(1 − *x*) = 0, qui dit que rien ne peut à la fois appartenir et ne pas appartenir à une classe. Boole a fait remarquer que c’est le principe de contradiction d’Aristote, désormais tiré de l’algèbre.

## Un exemple concret : la logique comme arithmétique

Traitez chaque énoncé comme valant 1 s’il est vrai et 0 s’il est faux. La multiplication de Boole se comporte alors comme le mot ET, et 1 − *x* comme NON.

| *x* (est blanc) | *y* (est un mouton) | *xy* (blanc ET mouton) | 1 − *x* (NON blanc) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |

Vérifiez la loi : si *x* = 1, alors 1 × (1 − 1) = 0; si *x* = 0, alors 0 × (1 − 0) = 0. Dans les deux cas, le résultat est 0; le principe de contradiction tient donc dans tous les cas. Un raisonnement entier peut maintenant être vérifié en passant en revue toutes les combinaisons de 0 et de 1, un travail qui n’exige aucune intuition, seulement de la patience. C’est exactement le genre de travail pour lequel une machine est douée.

> **À essayer :** ajoutez une troisième colonne *z* pour « a des cornes ». Écrivez les huit combinaisons de *x*, *y* et *z*, puis calculez *xyz* (mouton blanc à cornes). Dans combien de lignes la description s’applique-t-elle?

## Pourquoi c’est important

L’accueil réservé au livre a un peu déçu Boole; les lecteurs l’ont surtout traité comme une boîte à outils mathématique plutôt que comme une étude de l’esprit. D’autres ont bâti sur ses travaux. L’économiste anglais William Stanley Jevons a simplifié son système en 1864, et le philosophe américain Charles Sanders Peirce a donné le nom de « Boolian algebra » à la version épurée. Avec une orthographe modifiée, l’« algèbre de Boole » s’est répandue dans les universités au début du XXe siècle.

L’algèbre de Boole n’était pas exactement l’algèbre booléenne moderne. Il gardait des liens plus étroits avec l’arithmétique ordinaire, et les spécialistes en soulignent les différences. Mais l’idée centrale, selon laquelle on peut raisonner avec le vrai et le faux en calculant sur 0 et 1, vient de lui. En 2019, vous la croisez chaque fois que vous tapez ET ou OU dans la recherche d’un catalogue de bibliothèque, que vous écrivez une instruction « if » dans du code ou que vous vous fiez à un appareil numérique, quel qu’il soit.

## Comment la logique de Boole se retrouve-t-elle dans un ordinateur?

Pendant des décennies, la logique de Boole a eu l’air d’une théorie pure sans usage technique. Cela a changé en 1937, quand un jeune étudiant nommé Claude Shannon a écrit son mémoire de maîtrise au MIT, le Massachusetts Institute of Technology. Shannon avait découvert les idées de Boole dans un cours de philosophie, et il a vu qu’un interrupteur électrique est un 0 ou un 1 parfait : ouvert ou fermé. Il a montré que l’algèbre de Boole pouvait servir à concevoir et à simplifier des circuits faits de relais, les interrupteurs qu’on utilisait alors dans les centraux téléphoniques, et que de tels circuits pouvaient à leur tour résoudre des problèmes d’algèbre de Boole. En Union soviétique, Victor Chestakov est arrivé à une théorie semblable des circuits de commutation à peu près au même moment.

Les puces modernes appliquent le même principe à une échelle énorme. De minuscules transistors agissent comme des interrupteurs, regroupés en portes qui calculent ET, OU et NON, et des milliards d’entre eux, ensemble, font tourner chaque programme. Même les réseaux de neurones derrière les outils de reconnaissance vocale et d’images de 2019, qui apprennent à partir de données plutôt que de suivre des règles écrites à la main, fonctionnent sur du matériel entièrement bâti sur les deux valeurs de Boole. Shannon, à son tour, a été l’un des quatre auteurs de la proposition de 1955 qui a donné son nom à l’intelligence artificielle; la ligne qui mène du livre de Boole à la recherche en IA est donc courte.

## Sources

- An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities: https://www.gutenberg.org/ebooks/15114
- George Boole: https://plato.stanford.edu/entries/boole/
- George Boole: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=George_Boole&oldid=903480467